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Also kovergiert (xn ) gegen a ∈ X . Aufgabe 3 J. Da x ∈ X A ist nur zu zeigen: ∀ε > 0 ∃y ∈ A mit y ∈ Bε (x). Annahme: Es existiert ein ε > 0, so dass f¨ur alle y ∈ A gilt y ∈ Bε (x). Doch dann ist d(x, y) ≥ ε f¨ur alle y ∈ A und somit dist(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A} ≥ ε > 0. Widerspruch, da dist(x, A) = 0 nach Voraussetzung! Aufgabe 3 K. Sei ε > 0 und (a, b) ∈ I ×J beliebig. Da f stetig ist, existiert nach An. 2, §2, Satz 8, ein δ > 0, so dass f¨ur alle (x, y) ∈ I ×J mit (x, y)−(a, b) < δ gilt | f (x, y) − f (a, b)| < ε.

38 L¨osungen Aufgabe 2 D. a) Es sei ε > 0 beliebig und ( fn )n∈N sei eine Cauchy–Folge in C1 [a, b], dann gibt es ein N ∈ N, so dass f¨ur alle n, m ≥ N gilt: fn − fm C1 < ε =⇒ sup{| fn (x) − fm (x)| + | fn(x) − fm (x)| : x ∈ [a, b]} < ε fn − fm = sup{| fn (x) − fm (x)| : x ∈ [a, b]} < ε, =⇒ fn − fm = sup{| fn (x) − fm (x)| : x ∈ [a, b]} < ε. Somit sind ( fn ) und ( fn ) Cauchy–Folgen in (C[a, b], gabe 2 C konvergieren. Also gibt es f , g ∈ C[a, b] mit ), die nach Auf- ( fn ) konvergiert gegen f bzgl.

2 Nach An. 2, §3, Satz 8, (Satz von Bolzano–Weierstrass) gibt es eine konvergente Teilfolge (xkn )n∈N von (xk ) mit einem Grenzwert a ∈ X . Daher gibt es ein N2 ∈ N, so dass f¨ur alle n ≥ N2 gilt ε xkn , a < . 2 Nun gilt f¨ur alle n ≥ N1 : xn , a ≤ xn , xkM + xkM , a < ε ε + = ε, 2 2 wobei M ≥ max(N1 , N2 ) beliebig. Also kovergiert (xn ) gegen a ∈ X . Aufgabe 3 J. Da x ∈ X A ist nur zu zeigen: ∀ε > 0 ∃y ∈ A mit y ∈ Bε (x). Annahme: Es existiert ein ε > 0, so dass f¨ur alle y ∈ A gilt y ∈ Bε (x).

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