Giroux A.'s Analyse 3 PDF

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs numériques ou à valeurs dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions inverses est présenté et appliqué, through le théorème des fonctions implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes et qui think connues les notions de base de l'analyse en une variable telles que présentées dans les cours examine 1 et examine 2 ainsi que les résultats fondamentaux de l'algèbre linéaire. On trouvera sur ce website divers records pertinents au cours.

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Un admettra une solution non triviale u = f (x0 ) et son d´eterminant Jf (x0 ) devra s’annuler. D. 4 Exercices Justifier ses r´eponses. 1. Soit f : Rn → Rm une fonction. V´erifier qu’elle est born´ee (en norme) sur l’ensemble E si et seulement si ses composantes fi : Rn → Rm le sont. Posant M = sup{ f (x) | x ∈ E} et Mi = sup{|fi (x)| | x ∈ E}, montrer que m Mi2 . Mi ≤ M ≤ i=1 2. Soit f : R2 → R2 la fonction  2 (x − x22 , 2x1 x2 )   1 f (x) = x21 + x22   0 si (x1 , x2 ) = (0, 0), sinon.

Le calcul des d´eriv´ees partielles ob´eit aux mˆemes r`egles que celui des d´eriv´ees « ordinaires ». La fonction f est d´erivable sur E si elle est d´erivable en chaque point de E. Si f est d´erivable en x0 , elle est certainement continue en x0 puisqu’alors f (x) − f (x0 ) = L(x − x0 ) + r(x). 32 Le vecteur gradient en x0 est ∂f ∂f ∂f (x0 ), (x0 ), · · · , (x0 ) . ∂x1 ∂x2 ∂xn gradf (x0 ) = L’hyperplan de Rn+1 dont l’´equation est xn+1 = f (x0 ) + gradf (x0 ) · (x − x0 ) est l’hyperplan tangent au graphe xn+1 = f (x) en x0 .

D(n,n) f (y) est la matrice (sym´etrique) des d´eriv´ees partielles d’ordre 2 (matrice de Hesse ou matrice hessienne). 4 Exercices Justifier ses r´eponses. 1. Soient f : R → R et g : R → R deux fonctions d´erivables. Montrer que la fonction h(x1 , x2 ) = f (x1 ) g(x2 ) est d´erivable. 2. D´eterminer l’ensemble des points o` u la fonction f (x1 , x2 ) = |x1 | x22 est d´erivable. 3. Mˆeme question pour la fonction f (x1 , x2 ) = 41 √ 3 x1 x2 . 4. Soit p > 1. Calculer grad( x p ) . 5. Soit f : R → R une fonction d´erivable.

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